Теория вероятности

Если в комнате находится 3 человека, какова вероятность того, что по крайней мере двое из них будут одного пола?

Если в модели задачи допускаются только две категории пола, среди трёх человек хотя бы двое неизбежно относятся к одной категории. Вероятность равна 1 по принципу Дирихле. Ниже рассмотрим другое событие: в комнате представлены обе категории.

Пусть:

$P(M)$ - вероятность того, что человек мужского пола
$P(F)$ - вероятность того, что человек женского пола

Тогда:

Вероятность того, что все три человека будут мужчинами: $P(M) _ P(M) _ P(M)$
Вероятность того, что все три человека будут женщинами: $P(F) _ P(F) _ P(F)$

Вероятность того, что в комнате представлены обе категории, при независимом выборе равна:

1 - (Вероятность всех мужчин + Вероятность всех женщин)

Это вероятность смешанной группы, а не ответ исходной задачи. Для исходного вопроса при двух категориях ответ всегда 1.

Как справедливо выбрать между А и Б с помощью монеты с неизвестным смещением вероятностей?

Если обе стороны монеты имеют разную вероятность выпадения, то можно использовать следующую стратегию для получения справедливого результата:

Бросайте монету дважды. Пусть вероятность орла постоянна, броски независимы и 0 < p < 1.
Орёл-решка означает победу А, решка-орёл означает победу Б. При двух одинаковых результатах повторите пару бросков.
Вероятности орёл-решка и решка-орёл равны p(1 − p), поэтому оба игрока имеют одинаковые шансы.

Это метод фон Неймана. При p = 0 или p = 1 он не завершится; независимость и постоянство вероятности существенны.

Из 100 монет одна с двумя орлами. Случайно выбранная монета выпала орлом. Какова вероятность, что она фальшивая?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу условной вероятности. Пусть:

$A$ - событие, что выбранная монета фальшивая.
$B$ - событие, что выбранная монета выпадает орлом вверх.

Тогда мы хотим найти вероятность события A при условии события B, то есть $P(A|B)$ .

Используем формулу условной вероятности:

P(A∣B)=

\frac {P(A∩B)}{P(B)}

Теперь оценим вероятности:

P $(A)= \frac{1}{100}$ , так как в мешке 100 монет, и только одна из них фальшивая.
$P(B∣A)=1$ , так как фальшивая монета всегда выпадает орлом вверх.
$P(B)$ - это вероятность того, что монета выпадет орлом вверх. Так как у нас есть только одна фальшивая монета, а мы знаем, что она выпадает орлом вверх, то
$P(B)=P(B∣A)⋅P(A)+P(B∣\hat{A})⋅P(\hat{A}) = 1⋅\frac{1}{100}+ \frac{1}{2}⋅ \frac{99}{100}.$

Теперь можем найти $P(A∣B)$ :

P(A∣B)= \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + \frac{1}{2} \cdot \frac{99}{100}}

Вычислив это выражение, мы получим вероятность того, что выбранная монета является фальшивой, при условии, что она выпала орлом вверх.

Расскажите как работает центральная предельная теорема. (ЦПТ)

Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что если провести множество случайных выборок из любого распределения с конечным средним и конечной дисперсией, и взять их средние значения, то распределение этих средних будет приближаться к нормальному распределению с увеличением размера выборки, независимо от формы исходного распределения. Это означает, что при выполнении определенных условий средние значения выборок становятся нормально распределенными, что делает возможным применение статистических методов, основанных на предположении нормальности данных.

Расскажите как работает закон больших чисел. (ЗБЧ)

Закон больших чисел - это математическая теорема, утверждающая, что с увеличением числа испытаний среднее значение случайной величины стабилизируется и приближается к математическому ожиданию этой случайной величины. Другими словами, чем больше испытаний, тем ближе среднее значение к ожидаемому значению.