Задачи

Чувствительность теста на ВИЧ — 99.7%, специфичность — 98.5%, распространённость — 0.1%. Какова вероятность ВИЧ при положительном результате?

Точность теста = PV+= (0.001*0.997)/[(0.001*0.997)+((1–0.001)*(1–0.985))] = 0.0624 или 6.24%.

Из 100 опрошенных избирателей 60 поддерживают вас. Можно ли быть уверенным в победе?

Примем для простоты, что у вас только один соперник.

Также примем, что желаемый доверительный интервал составляет 95%. Это даст нам z-оценку 1.96.

p \pm z \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}

В нашей задаче p = 0.6, z = 1.96, n = 100, что дает доверительный интервал [50.4, 69.6].

Такой приближённый интервал лишь немного выше 50%, но не гарантирует победу. Нужно учитывать способ отбора, неответы, явку и изменение предпочтений. Один дополнительный голос в опросе не устраняет эти источники неопределённости.

Счетчик Гейгера записывает 100 радиоактивных распадов за 5 минут. Найдите приблизительный 95% интервал для количества распадов в час.

Поскольку это задача на распределение Пуассона, среднее = лямбда = дисперсия, что также означает, что стандартное отклонение = квадратному корню из среднего.

Доверительный интервал 95% соответствует z-оценке 1.96.

Одно стандартное отклонение = 10.

Для ожидаемого числа распадов за пять минут приближённый интервал равен 100 ± 19.6, то есть [80.4, 119.6]. Умножая границы на 12, получаем [964.8, 1435.2] для средней интенсивности в час. Это не предиктивный интервал фактического числа будущих распадов.

Количество убийств в Шотландии упало со 115 до 99. Является ли это изменение значимым?

Если это независимые пуассоновские счётчики за одинаковые периоды, под нулевой гипотезой интенсивности равны. Приближённая статистика разности равна (115 − 99)/sqrt(115 + 99) ≈ 1.09, двустороннее p-value ≈ 0.27. На уровне 5% оснований отвергнуть равенство нет. Сравнивать 99 с интервалом для 115 недостаточно: оба счётчика случайны.

У 9 человек средний объём мозга 1100 см³, выборочное стандартное отклонение 30 см³. Каков 95% t-интервал среднего?

Используем формулу доверительного интервала для выборки:

X \pm t \frac{s}{\sqrt{n}}

Учитывая уровень доверительности 95% и количество степеней свободы, равное 8, t-оценка = 2.306.

Доверительный интервал = 1100 +/- 2.306*(30/3) = [1076.94, 1123.06].

Вы бросаете два шестигранных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших значений будет равна 4? А 8?

Выбросить 4 можно тремя комбинациями: (1+3, 2+2, 3+1). Поскольку всего комбинаций 36, P(4) = 3/36 = 1/12.

Выбросить 8 можно пятью комбинациями: (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2). P(8) = 5/36.